Find grænsen for en integreret: $ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/02/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Antag at $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig. Bestem, om følgende grænse findes

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Da $ f (x) $ og $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ er kontinuerlige, så deres produkt er Riemann integrable. Men $ \ lim_ {n \ til \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ eksisterer ikke, så det er ikke ensartet konvergens, og vi kan ikke overskride grænsen inde i integralet. Det opfylder heller ikke betingelserne i Dini Theorem. Jeg ved ikke, hvordan man laver et gyldigt argument for dette problem, men jeg tror ved det, jeg sagde grænsen ikke eksisterer. Jeg sætter pris på enhver hjælp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Bemærk at $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Tak, jeg tror, ​​jeg kan færdiggøre det nu
Teepeemm 07/31/2017
Det ser ud til at være mere avanceret end problemet kræver.

Sangchul Lee 07/31/2017.

En lidt anden måde at løse dette på er at bruge følgende observation.

Proposition. Hvis $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig, er $ g: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kontinuerlig og $ L $ -periodisk, så

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ venstre (\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ højre) \ venstre (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ højre). $$

  1. Hvis man antager denne erklæring, følger svaret straks siden $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ er $ 2 \ pi $ -periodisk og

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuitionen er meget klar: Hvis $ n $ er meget stor, så har vi i underinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $ {c} \ c {\ frac {L} {c} n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Så ignorerer detaljer, ville vi have

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ ca \ venstre (\ sum_ {k = 1} ^ {lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ højre) \ frac {1} {n} \ højre) \ venstre (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ højre) $$

    og tager grænsen som $ n \ til \ infty $, konvergerer højre side til den ønskede værdi. Udfyldning af detaljerne er ret rutine.

  3. Forudsætningen om kontinuitet er bare en teknisk ramme for simpelt bevis, og du kan slappe af dem i visse grader ved at betale mere indsats.


Michael Hartley 07/31/2017.

Du kan ikke konkludere $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ eksisterer ikke bare fordi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ gør det ikke. For eksempel eksisterer $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ ikke, men $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ da integralet er nul for alle $ n $.

Jeg er bange for, at min brugbarhed løber ud på dette tidspunkt, selvom jeg tror grænsen eksisterer: Du burde, hvis ikke andet, finde et epsilon-delta-argument, der udtrykker integralet som summen af ​​en flok integraler med længdeintervaller $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dette kan være en meget dårlig måde at løse problemet på.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
4 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
8 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
9 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
10 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
11 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
12 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
15 Billie Eilish

When The Party's Over flac

Billie Eilish. 2018. Writer: Billie Eilish;FINNEAS.
16 K-391

Mystery flac

K-391. 2018.
17 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
18 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
19 Lil Pump

Arms Around You flac

Lil Pump. 2018. Writer: Rio Santana;Lil Pump;Edgar Barrera;Mally Mall;Jon Fx;Skrillex;Maluma;Swae Lee;XXXTENTACION.
20 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags