Find grænsen for en integreret: $ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/02/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Antag at $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig. Bestem, om følgende grænse findes

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Da $ f (x) $ og $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ er kontinuerlige, så deres produkt er Riemann integrable. Men $ \ lim_ {n \ til \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ eksisterer ikke, så det er ikke ensartet konvergens, og vi kan ikke overskride grænsen inde i integralet. Det opfylder heller ikke betingelserne i Dini Theorem. Jeg ved ikke, hvordan man laver et gyldigt argument for dette problem, men jeg tror ved det, jeg sagde grænsen ikke eksisterer. Jeg sætter pris på enhver hjælp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Bemærk at $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Tak, jeg tror, ​​jeg kan færdiggøre det nu
Teepeemm 07/31/2017
Det ser ud til at være mere avanceret end problemet kræver.

Sangchul Lee 07/31/2017.

En lidt anden måde at løse dette på er at bruge følgende observation.

Proposition. Hvis $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig, er $ g: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kontinuerlig og $ L $ -periodisk, så

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ venstre (\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ højre) \ venstre (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ højre). $$

  1. Hvis man antager denne erklæring, følger svaret straks siden $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ er $ 2 \ pi $ -periodisk og

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuitionen er meget klar: Hvis $ n $ er meget stor, så har vi i underinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $ {c} \ c {\ frac {L} {c} n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Så ignorerer detaljer, ville vi have

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ ca \ venstre (\ sum_ {k = 1} ^ {lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ højre) \ frac {1} {n} \ højre) \ venstre (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ højre) $$

    og tager grænsen som $ n \ til \ infty $, konvergerer højre side til den ønskede værdi. Udfyldning af detaljerne er ret rutine.

  3. Forudsætningen om kontinuitet er bare en teknisk ramme for simpelt bevis, og du kan slappe af dem i visse grader ved at betale mere indsats.


Michael Hartley 07/31/2017.

Du kan ikke konkludere $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ eksisterer ikke bare fordi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ gør det ikke. For eksempel eksisterer $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ ikke, men $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ da integralet er nul for alle $ n $.

Jeg er bange for, at min brugbarhed løber ud på dette tidspunkt, selvom jeg tror grænsen eksisterer: Du burde, hvis ikke andet, finde et epsilon-delta-argument, der udtrykker integralet som summen af ​​en flok integraler med længdeintervaller $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dette kan være en meget dårlig måde at løse problemet på.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags