Funktioner, der altid er mindre end deres derivater

Mike Brown 09/12/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Jeg spekulerede på, om der findes funktioner for hvilke $$ f '(x)> f (x) $$ for alle $ x $. Kun eksempler jeg kunne tænke på var $ e ^ x - c $ og blot $ - c $ hvor $ c> 0 $. Er der også nogen betydning i en funktion, der altid er mindre end dens derivat?


Rediger: Mange tak for alle svarene. Det ser ud til, at næsten alle funktioner, der gælder, er eksponentielle af naturen ... Er der flere eksempler som - 1 / x?

Igen er der nogen applikationer / fysiske manifestationer af disse funktioner? [for eksempel et objekt med en hastighed, der altid er større end dens position / acceleration er altid større end dens hastighed]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Fra toppen af ​​mit hoved, enhver afgrænset, monotonisk stigende funktion i det nederste halvplan.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar giver den fulde og mest generelle løsning (selv om nogle bestemte løsningsfamilier kan skrives i pænere former) og bør accepteres.
Hamsteriffic 07/30/2017
1! Men vær venlig at rette titlen, ændre "dens" til "deres". Den måde titlen er skrevet på, et øjeblik syntes det at du overvejede derivater af alle ordrer. Og nu er jeg nysgerrig efter dette side spørgsmål, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Hvis $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, kan vi definere $ f (x) = y' (x) -y (x) $, hvilket er positivt forallt $ x $. Antag at $ y '(x) $ er kontinuerlig funktion, så $ f (x) $ også er kontinuerlig. Nu med dette element kan vi opbygge differentialekvationen $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ og dens løsninger er givet ved: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (r) ds \ højre) $$

Igen er der nogen applikationer / fysiske manifestationer af disse funktioner? [for eksempel et objekt med en hastighed, der altid er større end dens position / acceleration er altid større end dens hastighed]

Jeg ved ikke, om der er brug for denne interessante ejendom, men jeg er sikker på, at du ikke kan sammenligne hastighed med stillingen, fordi de ikke er homogene mængder.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Antag $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Så du kan slå enhver funktion $ g $ hvor $ g '(x)> 1 $ til denne type funktion ved at tage eksponenten af ​​den:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ indebærer \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ indebærer \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Du antager $ f (x)> 0 $ i begyndelsen
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Så kunne han bare bruge $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ som udgangspunkt for en given $ f $. På den måde har man altid $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar giver den fulde generalisering ved at tillade $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ at være en hvilken som helst funktion, der er overordnet positiv.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nej, han antager kontinuitet på $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jeg er temmelig sikker på, at tilstanden ikke er nødvendig.

Peter 07/28/2017.

Et simpelt eksempel er $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Et mere interessant problem er at finde en funktion $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, hvis billede er $ \ mathbb {R} $ og opfylder $ f '(x)> f (x) $ for alle $ x \ in \ mathbb {R} $. En af disse funktioner er

$$ \ sinh (x), $$

fordi

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ for alle $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Tag $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Derefter har vi $ $ $ 1 ($) $ x ($) og $ $ $ ($).


steven gregory 07/28/2017.

Hvad med om du ser på det som en differentialekvation. Sige

$ y '= y + 1 $

som har løsning $ y = Ce ^ x -1 $

Eller $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

som har løsning $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Eller $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

som har løsning $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar generaliserer dette til $ y '(x) = y (x) + f (x) $ for enhver $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - skal jeg slette mit svar?
Robin Saunders 07/30/2017
Jeg ved ikke meget om Stack Exchange etikette, men mit gæt ville være at siden du først bogførte dit svar og indeholder specifikke eksempler ikke i det andet svar, bør det være fint at forlade det.

Eric Towers 07/30/2017.

Et very simpelt eksempel er $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevant til din redigering: dette er slet ikke eksponentielt.

Andre eksempler, der ikke er umiddelbart eksponentielle:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ er overalt negativt og overalt strengt monotont stigende, så er overalt mindre end dets derivat.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ er også overalt negativt og overalt strengt monotonisk stigende. (Disse er meget ens, da de forskydes kopier af CDF'erne af (standard / normaliseret) Cauchy og Gaussian distributioner.)
  • $ \ frac {1} {2} \ venstre (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ højre) $ er den nederste gren af ​​en hyperbola med $ x $ -aksien og linjen $ y = x $ som asymptoter. Det er overalt negativt og overalt strengt monotonisk stigende.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Se, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ i \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Mere generelt har enhver negativ funktion med positivt derivat ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Et andet simpelt eksempel ville være $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ugyldigheden $$ f '(x)> f (x) $$ svarer til $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Så den generelle løsning er at tage en differentierbar funktion $ g (x) $ med $ g '(x)> 0 $ og sæt $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Bemærk at intet antages om $ f $ undtagen differentierbarhed, hvilket er nødvendigt for at stille spørgsmålet i første omgang.


HelloGoodbye 07/30/2017.

For en differentiel funktion $ f $, hvor både $ f (x) $ og $ f '(x) $ er begrænset til endelige områder, er $ f' (x) - f (x) $ også begrænset til et begrænset område, så der er en $ c $ for hvilken $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Derfor kan en funktion $ g (x) = f (x) - c $ dannes for hvilken $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ eller $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

For eksempel gælder dette for mange forskellige periodiske funktioner.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Den sidste sætning er forkert, da ikke hver differentierbar periodisk funktion har afgrænset derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Du har ret. Jeg overvejede periodiske funktioner, der var differentiable på ethvert tidspunkt i $ \ mathbb {R} $, men jeg indser, at en funktion kun skal differentieres på alle punkter i sit domæne, for at blive betragtet som differentierbar. Jeg har opdateret mit svar.
Adayah 07/30/2017
Jeg mener, at en funktion $ f: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kan være periodisk og differentierbar i hvert punkt $ a \ in \ mathbb {R} $ og stadig har ubundet derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Har du noget eksempel på en sådan funktion?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Jeg mener, at hvis en funktion $ f $ er differentierbar overalt, skal dens derivat $ f '$ eksistere overalt, og $ f' $ skal være kontinuerlig (fordi hvis den indeholder diskontinuitet, kan $ f '$ ikke eksistere på det tidspunkt ). Det gør det umuligt for $ f '$ at være ubundet, ikke?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike et svar på dit ekstra spørgsmål "Er der fysiske eksempler på dette?" er aktiveret af dromastyx.

Hans eksempel viser hyperboliske funktioner, som præcist beskriver det fysiske fænomen "solitoner".

Solitoner er ensomme bølger som solstråler, tsunamier osv. Et eksempel på at finde sådanne bølger gemt i kendte ligninger er:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
4 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
5 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
6 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
7 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
10 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
11 Rita Ora

Cashmere flac

Rita Ora. 2018. Writer: Sean Douglas;Lindy Robbins.
12 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
13 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
14 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
15 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
16 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
17 Cher Lloyd

None Of My Business flac

Cher Lloyd. 2018. Writer: ​iamBADDLUCK;Alexsej Vlasenko;Kate Morgan;Henrik Meinke;Jonas Kalisch;Jeremy Chacon.
18 Billie Eilish

When The Party's Over flac

Billie Eilish. 2018. Writer: Billie Eilish;FINNEAS.
19 Kelly Clarkson

Never Enough flac

Kelly Clarkson. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
20 Lil Pump

Arms Around You flac

Lil Pump. 2018. Writer: Rio Santana;Lil Pump;Edgar Barrera;Mally Mall;Jon Fx;Skrillex;Maluma;Swae Lee;XXXTENTACION.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags